本格的論述問題にチャレンジしてみよう【数学】


ダイレクトメールに掲載した「入試改革に向けて増加する 本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

さて、どこから手を付ければいいのやら…
 ~ 公式や定型的な解法の暗記では対応できません。知識や経験を活かしながら論理的思考が求められる1題です。

 4個の整数 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない.これを証明せよ.

大阪大学2013年の入試問題です。阪大は整数問題の出題がほぼ毎年あり、この問題のできが合否を分けることも少なくありません。難関大学ではよく出題される整数問題は、通り一遍の解法暗記では太刀打ちできず、数学的な思考が要求されます。


まず、この4個の整数がすべて素数となるような正の整数 \(n\) が存在しないことを証明するためには
「すべての正の整数 \(n\) について、 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) の少なくともひとつが素数でない」
ことを示せばよいんだなと考えよう。

次に「すべての正の整数について」の部分をどう考えるか?
1.数学的帰納法の利用
2.余りで分類
のいずれかで攻められそうだが、この問題の場合、数学的帰納法はどうもうまくいきそうにない。

ならば「余りで分類」でいくか…。
では、何で割ったときの余りでいけるか?
2で割った余りで解決すれば簡単だが、多分そんなに甘くないだろう。実際、
\(n=2k\) のとき
 \(n+1=2k+1\) ,\(n^3+3=8k^3+3\) ,\(n^5+5=32k^5+5\) ,\(n^7+7=128k^7+7\)
となって、\(n=2k+1\) のときを考えるまでもなく これらのいずれかが素数ではないというのは どうも簡単ではなさそう。

なので、3で割った余りでやってみようか。
(1) \(n=3k\) のとき、
 \(n+1=3k+1\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) おっ、これは \(3\) の倍数だから素数ではないぞ!
(2) \(n=3k+1\) のとき、
 \(n+1=3k+2\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^3+3\) は? \(n \equiv 1 \pmod 3\) のとき \(n^3 \equiv 1\) だから、
  \(n^3+3\equiv 4 \equiv 1\) となり、\(n^3+3=3A+1\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^5+5\) は? \(n^5\equiv 1\) だから、
  \(n^5+5\equiv 6\equiv 0\) となり、\(n^5+5=3B\) おっ、\(3\) の倍数ってことだ!
(3) \(n=3k+2\) のとき、\(n=3k-1\) のときと考えた方が楽かな? でも今回は、
 \(n+1=3k+3=3(k+1)\) ん?意外とあっさり。これは \(3\) の倍数。

というわけで、\(3\) で割った余りで解決しそう!
ただし、\(n\) が正の整数であることより、(1)では\(k>0\) だが、(2)(3)では \(k=0\) の場合も考える必要がある。このことを忘れると確実に減点!
(2)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=1\) のとき、\(n^5+5=6\) となるから素数でなく問題なし。
(3)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=2\) のとき、\(n+1=3\) となり \(3\) は素数なので、これではダメ。
 ならば \(n=2\) の場合は…
  \(n+1=3\) ,\(n^3+3=11\) ,\(n^5+5=37\) ,\(n^7+7=135\)
 となり \(n^7+7\) が素数でない。なるほど、上の(1)~(3)でいけるなら \(n^7+7\) がなくてもいいんじゃないの?って思ったけど、そういうことなのね。

な~んてことを、試験場でいろいろ考え、さてそれでは答案を書いてみるか、ということになる。
\(n=1\) のときは別に分けて考える必要はなく(2)に入れてもよいが、そうすると(2)の場合だけ \(k=0\) の場合を含めることになりすっきりしないので、\(n=1\) と \(n=2\) の場合は先に書いてしまった方がいいかな。

では、以下に解答例を示そう。


【解答例】(下の 「 \(\ge\) 」は記号「≧」の意味です。)

i) \(n=1\) のとき
  \(n^3+3=4\) より \(n^3+3\) は素数ではない.
ii) \(n=2\)のとき
  \(n^7+7=135=5\cdot 27\) より \(n^7+7\) は素数ではない.
iii) \(n\ge 3\) のとき
 (1) \(n=3k\) (\(k\) は正の整数)のとき
   \(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) となり、
   \(9k^3+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n^3+3\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
 (2) \(n=3k+1\) (\(k\) は正の整数) のとき
   \(3k+1\equiv 1 \pmod 3\) だから \((3k+1)^5\equiv 1 \pmod 3\) で、
    \((3k+1)^5=3N+1\) ( \(N\) は正の整数)と表せるから
   \(n^5+5=(3k+1)^5+5=(3N+1)+5=3(N+2)\) ( \(N\) は正の整数) となり、
    これは \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
 (3) \(n=3k+2\) (\(k\) は正の整数) のとき
   \(n+1=3k+3=3(k+1)\) となり、
   \(k+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n+1\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
以上より、どのような正の整数 \(n\) に対しても \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) のいずれかが素数ではない、つまり、4個の整数 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない.(Q.E.D.)

進藤 努(数学科)
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2015年1月9日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS

本格的論述問題にチャレンジしてみよう【英語】

ダイレクトメールに掲載した「入試改革に向けて増加する 本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

易しそうに見えるがミスしやすい和文英訳問題
 ~ 逐次的な訳よりも英語として自然な表現を心掛けて訳しましょう。

次の日本文を英訳しなさい。
1.いつ日本語が誕生したのかについて明確に述べることは困難である。
2.母国語の本を読んでも、私の知らない単語が出てくることがあります。

1.いつ日本が誕生したのかについて明確に述べることは困難である。
まず、日本語を英訳する際に、英文の構造的核となる部分を決める。上記の和文の場合は、「~することは困難である」になる。

「~することは困難である」
訳例
it is difficult to do
it is not an easy task to do
we have difficulty doing など

次にその他の部分の英訳を考える。

「いつ~かを明確に述べる」
訳例
tell exactly when ~
point out clearly when ~ など
(補足) この場合の「述べる」は、「表現する」ではないので、expressやdescribeは使わない方がよい。

「いつ日本語が誕生したか」
訳例
when the Japanese language came into use
when the Japanese language began to be used
when people began to use the Japanese language など
(補足) こういった場合の「誕生する」に、be bornを使うのは誤りではないが、frequencyは低いと思われる。

以上をまとめると解答例は、以下の通りとなる。

解答例1.
It is difficult to tell exactly when the Japanese language came into use.
解答例2.
It is not an easy task to point out clearly when people began to use the Japanese language.

2.母国語の本を読んでも、私の知らない単語が出てくることがあります。
構造的核となる主節部分は、「単語が出てくることがあります」にするのが一般的であろう。

「単語がでてくることがあります」
訳例
I sometimes come across words[a word]
I found words [a word] occasionallyなど
(補足) 「単語」を主語とし、「出てくる」を動詞とする英文は不自然な文になる可能性が高が、there are some wordsなどを使う方法もある。

「私の知らない単語」
訳例
words unfamiliar to me
unfamiliar words
words whose meanings I do not know など
(補足) unknown words 「人々に知られていない単語」といった意味になるので避ける。

次に「母国語の本を読んでも」の部分を主節にかかる副詞節として訳す。
「~の場合であっても、たとえ~しても」
訳例
even when ~
(even if ~, even though ~)

「母国語の本を読んでいる」
訳例
I am reading (the) books written in my native language
I read books written in my mother tongue

以上をまとめると解答例は、以下の通りとなる。

解答例1.
I sometimes come across words unfamiliar to me even when I am reading books written in my native language.
解答例2.
I occasionally find a word whose meaning I don’t know even while I am reading books written in my mother tongue.
解答例3.
There are some words unfamiliar to me even when I read books written in my native tongue.

片山 泰介(英語科)

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2015年1月9日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS