少数精鋭予備校だからできる難関大論述対策

pixta_3874370_m 大学入試改革は2020年実施だからまだ関係ない。そう思っている方も少なくないかもしれませんが、知識や定型的な処理能力に加え、従来以上に思考力・表現力を問うものに変えようとする大学入試改革は実は既に始まっているのです。特に大きな変化が予想される科目のひとつ英語では、TOEFL・TEAPなど英語4技能(Reading・Writing に、Listening・Speaking 加えた能力)を判定できる外部試験の導入が進むなど、「まだ関係ない」と言っていられない状況です。
 大手予備校で経験を積んだ本格派講師陣が指導するOKSは、小さな予備校であるがゆえに様々な変化に迅速にきめ細かく対応でき、いま求められている学力の養成へ万全の態勢を整えています。本格的な制度改革に先駆けて進み ますます多様化する大学入試に、大手予備校や映像系予備校、ましてや学生講師中心の個別指導塾などで対応できるはずもありません。経験豊かな講師陣が結集し、少数精鋭指導を行う小さな予備校OKSだからこそできることがあります。ぜひそれを自分の目で確かめてみてください。
 今なら開講中の後期通常授業の中で受講を検討する講座をすべて1回ずつ無料で体験できます。12月15日から始まる冬期講習を受ける前に、どんな先生がいてどんな授業があるのか、自習室や日常指導はどんな感じなのか、自分での目で思う存分確かめるチャンスです。

それでは、
ダイレクトメールに掲載した「本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

日本語の字面に引きずられることなく、正しい内容把握と自然な英語表現を心掛けましょう。

問題 以下の文章を英訳せよ。

 かつて、印刷術の発明は文字のない言語を置き去りにし、ラジオ・テレビの隆盛がさらに、少数派の言語を追いやってきた。そしていま、インターネットである。英語も大切だが、弱肉強食にまかせていては多彩な文化は守れない。

解答例
  The invention of printing left behind the languages without any writing system, and the spread of the radio and television drove away minority languages. Now we have the Internet. It is true that English is important, but we cannot preserve the diversity of cultures if everything is left to the law of survival of the fittest.
ポイント解説
 上記はあくまでも解答例です。英作文は自分で書いたものを見てもらい、どこがダメなのか、どう書いたら減点されないのかなど直接指導を受けないと実力をつけることはできません。チャレンジしたみなさんも、自分なりに書いてみた答案を、ぜひOKSに持って来てみてください!

「印刷術の発明は~を置き去りにした」
The invention of printing left ~ behind

「文字のない言語」
the languages without any writing system

「ラジオ・テレビの隆盛が~を追いやってきた」
the spread of the radio and television drove away ~

「少数派の言語」
minority languages

「そしていま、インターネットである」
and now we have the Internet

「英語も大切だが」
It is true that English is important, but

「多彩な文化は守れない」
we cannot preserve the diversity of cultures

「弱肉強食に任せていては」
if everything is left to the law of survival of the fittest

片山 泰介(英語科)

OKSの英作文指導
 和文英訳・英作文は、問題集・参考書や演習書に掲載されている解答例を見るだけの学習法では成果は望めないのは当然ですが、添削指導を受けていたとしても一方的に赤で直された答案を見直すだけではなかなか力がつきません。
 OKSでは、英文法や長文・英文解釈の授業だけでなく、必要な生徒には1対1の個別対面形式で英作文指導を行っています。一方的な添削指導ではなく、ひとり一人の到達度と志望校に応じた指導が受けられ、特別な対策が求められる東京大学・京都大学などの英作文対策はもちろん、東京医科歯科大学で出題される英語による要約問題などへの対策も万全です。OKSでは、このような指導を含め、数学の答案添削や小論文対策など様々な日常指導が、追加費用なしで受けられます
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本格的論述問題にチャレンジ!【数学】


 ダイレクトメールに掲載した「本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

一見 簡単そうに見える整数問題
 ~ いざ解くとなると方針が思い浮かばない…

 \(n\) を2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)の \(n\) 乗になる数を \(n\) 乗数とよぶことにする。
(1) 連続する2個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ。
(2) 連続する \(n\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ。

 東京大学2012年の入試問題です。前回のDMに引き続き今回も整数問題を取り上げます。他にもいろいろと取り上げたい分野もあるのですが、高1生もチャレンジできるようにということで、この分野から紹介してみます。

 一見「簡単そうかな」と思えるかもしれませんが、いざ解き始めようとすると手がつかない、方針が思い浮かばないという1題です(東大受験生にとってはそうではないことを願いますが)。仮に方針が立ったとしても、減点されない緻密な答案を作成するにはかなりな実力を要します。また、「 \(n\) 乗数」という聞きなれない言葉に戸惑う受験生もいるかもしれません。難関大では、思考力を試すために、新しい概念を定義してそれに沿った出題がなされることも少なくありません。その意味では、今回の「 \(n\) 乗数」は、まだ理解しやすいものと言えます。


 まず、「~でないことを示せ」とあるので、まぁこれはたぶん背理法でいくんだろうなと見当をつけます。つまり「~である」と仮定すると何かおかしなことになるよ、ということを示せばよいわけです。

 で、まず(1)。連続する2個の自然数の積 \(k(k+1)\) が \(n\) 乗数とすると…
例えば、仮に \(k(k+1)=15^2\) と書けたとすると \(k(k+1)=3^2\cdot 5^2\) となる。でも、ここで「ちょっと待てよ。連続する2個の自然数 \(k\) と \(k+1\) は互いに素(※1)だから…」ということに思い至るかどうかが、解けるかどうかのポイントです。
  \(k\) と \(k+1\) が互いに素ということは、右辺の素因数3は \(k\) か \(k+1\) いずれか一方にしか含まれてはいけません。そうでないと「互いに素」でなくなってしまいます。右辺の素因数5についても同様ですから、結局 \(3^2\) 、 \(5^2\) のいずれも、 \(k\) または \(k+1\) の一方に入っていることになり、
   \((k,k+1)=(1,15^2) または (3^2,5^2)\)
となるため、 \(k\) と \(k+1\) はいずれも2乗数(平方数)ということになります。

 ところが、2乗数(平方数)は \(1,4,9,16,25,\ldots \) のように並んでいて、連続する2つの自然数がともに2乗数(平方数)になることはありません。これを一般化して答案を作ればよいことになります。

※1
難関大受験生にとっては常識でしょうが、「互いに素」というのは「1以外の公約数を持たないこと」です。「ともに素数」と勘違いする受験生もいますが、違います。もちろん、ともに素数の場合は当然互いに素になりますが、ともに素数でなくても例えば12と35も1以外の公約数を持たないので互いに素です。

(1)の解答例

連続する2個の自然数 \(k\),\(k+1\) の積が \(n\) 乗数であると仮定すると,
  \(k(k+1)=l^n\) ( \(l\) は自然数)
と表わせて,
  \(l={p_1}^{q_1}\cdot {p_2}^{q_2}\cdot \; \cdots \; \cdot {p_m}^{q_m}\)
と素因数分解できるとすると,
  \(k(k+1)={p_1}^{q_1n} \cdot {p_2}^{q_2n} \cdot \; \cdots \; \cdot {p_m}^{q_mn}\)
ここで,\(k\) と \(k+1\) は互いに素であるから、右辺の素因数 \(p_1\) は \(k\) または \(k+1\) のいずれかにすべて含まれる.これは,\(p_2,\ldots ,p_m\) についても同様であるから,\({p_1}^{q_1n},{p_2}^{q_2n},\ldots ,{p_m}^{q_mn}\) はそれぞれ \(k\) または \(k+1\) いずれかの因数となる.
このことより,\(k\) と \(k+1\) はともに \(n\) 乗数となる.・・・(I)

一方、\(n\) 乗数の差は \(1^n\) と \(2^n\) のとき最小となり,
\(n\) 乗数の差の最小値は,\(2^n-1^n \ge 4-1=3\) であるから、連続する2個の自然数がともに \(n\) 乗数となることはなく、このことは上の結果(I)に矛盾する.

したがって,連続する2個の自然数の積が \(n\) 乗数となることはない.(Q.E.D.)

 この問題を解くカギは「連続する2個の自然数は互いに素である」ということです。これを利用するとうまくいきそうだと気づくことと、それを使ってスキのない答案を書けたかどうかが合否の分かれ目になったと考えられます。

 さて、ではこれをヒントに(2)の答案を作ってみよう!
 これで完璧!という答案ができた人は、ぜひOKSに持ってきてみてください。OKS講師が実力判定と、それに応じた今後の最適な学習法をアドバイスします!

進藤 努(数学科)
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2015年12月8日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS

本格的論述問題にチャレンジ!【英語】

ダイレクトメールに掲載した「本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

日本語の字面に引きずられることなく、正しい内容把握と自然な英語表現を心掛けましょう。

問題 以下の文章を英訳せよ。

 米国の代表的スポーツ,たとえば野球やバスケットボール,アメリカンフットボールは,「適者生存」のダーウィニズムの影響が濃いのだそうだ。競技とは生存競争に他ならず,勝利するのは適者である。こういう考え方からメンバーチェンジの発想が生れた,とある研究者は指摘している。(東北大学)

解答例1
  Some people say that popular sports in the US, such as baseball, basketball and football, reflect the idea of “the survival of the fittest,” one of the main ideas of Darwinism. The essence of games is the struggle for existence, and the fittest win them. Such ideas, a researcher points out, lead[led] to the idea of substitution of players.
解答例2
  I hear it said that popular sports in the US – baseball, basketball and football, for example – are deeply influenced by Darwinism, especially the idea of “the survival of the fittest.” The game of those sports is about the struggle for survival, and the fittest players prevail. A researcher argues that the system of substitution of players is based on those ideas.
ポイント解説
「~だそうだ」
Some people say that ~, They say that ~, It is said that ~, I hear that ~, I hear it said that ~など。

「米国の代表的スポーツ」
(the) popular sports in the US
ここでの「代表的」は、「人気のある」程度の意味で、representやrepresentativeなどを用いるのは不可とまでは言えませんが、避けた方が無難でしょう。

「たとえば~」
この場合such as ~が一般的。~, for exampleなども可。

「適者生存のダーウィニズム」
the survival of the fittest of Darwinismではなく、”the survival of the fittest,” which is one of the main ideas of Darwinismなどの方がよいでしょう。Darwinism, especially the idea of “the survival of the fittest”という解釈もあります。

「~の影響が濃い」
文字通り英訳すると、be deeply influenced by ~, be strongly affected by ~など。この文章では、reflect ~とするのもよいでしょう。

「競技とは生存競争に他ならず」
the game is the struggle for existenceも可能でしょうが、「競技の本質は生存競争である」と解釈し、the essence of games is the struggle for existenceやbe about ~「その本質は~である」などの表現を用いる方がよいでしょう。

「適者」
the fittest (players)

「勝利する」
win (games), prevailなど。

「こういう考え方から~が生まれた」
Those ideas lead to[result in] ~でもよいでしょうし、~ is based on those ideasという書き方でもよいでしょう。~ comes from those ideas, ~ originates from those ideas「~はそういった考え方に由来する、~はそういった考え方から来ている」などを使うこともできます。

「メンバーチェンジ(という発想)」
member changeは和製英語なので不可。substitution (of players)などにしましょう。

「~とある研究者は指摘している」
文字通り、a researcher points out that ~でも構いませんし、a researcher argues that ~, a researcher says that ~等の表現もよいでしょう。解答例1は主節を挿入する形にしてあります。

OKSの英作文指導
 和文英訳・英作文は、模範解答を見るだけの学習法や、添削された答案を読むだけでは なかなか力がつきません。
 OKSでは、英文法や長文・英文解釈の授業だけでなく、必要な生徒には1対1の個別対面形式で英作文指導を行っています。
片山 泰介(英語科)

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2015年12月8日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS

本格的論述問題にチャレンジしてみよう【数学】


ダイレクトメールに掲載した「入試改革に向けて増加する 本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

さて、どこから手を付ければいいのやら…
 ~ 公式や定型的な解法の暗記では対応できません。知識や経験を活かしながら論理的思考が求められる1題です。

 4個の整数 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない.これを証明せよ.

大阪大学2013年の入試問題です。阪大は整数問題の出題がほぼ毎年あり、この問題のできが合否を分けることも少なくありません。難関大学ではよく出題される整数問題は、通り一遍の解法暗記では太刀打ちできず、数学的な思考が要求されます。


まず、この4個の整数がすべて素数となるような正の整数 \(n\) が存在しないことを証明するためには
「すべての正の整数 \(n\) について、 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) の少なくともひとつが素数でない」
ことを示せばよいんだなと考えよう。

次に「すべての正の整数について」の部分をどう考えるか?
1.数学的帰納法の利用
2.余りで分類
のいずれかで攻められそうだが、この問題の場合、数学的帰納法はどうもうまくいきそうにない。

ならば「余りで分類」でいくか…。
では、何で割ったときの余りでいけるか?
2で割った余りで解決すれば簡単だが、多分そんなに甘くないだろう。実際、
\(n=2k\) のとき
 \(n+1=2k+1\) ,\(n^3+3=8k^3+3\) ,\(n^5+5=32k^5+5\) ,\(n^7+7=128k^7+7\)
となって、\(n=2k+1\) のときを考えるまでもなく これらのいずれかが素数ではないというのは どうも簡単ではなさそう。

なので、3で割った余りでやってみようか。
(1) \(n=3k\) のとき、
 \(n+1=3k+1\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) おっ、これは \(3\) の倍数だから素数ではないぞ!
(2) \(n=3k+1\) のとき、
 \(n+1=3k+2\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^3+3\) は? \(n \equiv 1 \pmod 3\) のとき \(n^3 \equiv 1\) だから、
  \(n^3+3\equiv 4 \equiv 1\) となり、\(n^3+3=3A+1\) ???これは素数でないとは言えない。
 \(n^5+5\) は? \(n^5\equiv 1\) だから、
  \(n^5+5\equiv 6\equiv 0\) となり、\(n^5+5=3B\) おっ、\(3\) の倍数ってことだ!
(3) \(n=3k+2\) のとき、\(n=3k-1\) のときと考えた方が楽かな? でも今回は、
 \(n+1=3k+3=3(k+1)\) ん?意外とあっさり。これは \(3\) の倍数。

というわけで、\(3\) で割った余りで解決しそう!
ただし、\(n\) が正の整数であることより、(1)では\(k>0\) だが、(2)(3)では \(k=0\) の場合も考える必要がある。このことを忘れると確実に減点!
(2)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=1\) のとき、\(n^5+5=6\) となるから素数でなく問題なし。
(3)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=2\) のとき、\(n+1=3\) となり \(3\) は素数なので、これではダメ。
 ならば \(n=2\) の場合は…
  \(n+1=3\) ,\(n^3+3=11\) ,\(n^5+5=37\) ,\(n^7+7=135\)
 となり \(n^7+7\) が素数でない。なるほど、上の(1)~(3)でいけるなら \(n^7+7\) がなくてもいいんじゃないの?って思ったけど、そういうことなのね。

な~んてことを、試験場でいろいろ考え、さてそれでは答案を書いてみるか、ということになる。
\(n=1\) のときは別に分けて考える必要はなく(2)に入れてもよいが、そうすると(2)の場合だけ \(k=0\) の場合を含めることになりすっきりしないので、\(n=1\) と \(n=2\) の場合は先に書いてしまった方がいいかな。

では、以下に解答例を示そう。


【解答例】(下の 「 \(\ge\) 」は記号「≧」の意味です。)

i) \(n=1\) のとき
  \(n^3+3=4\) より \(n^3+3\) は素数ではない.
ii) \(n=2\)のとき
  \(n^7+7=135=5\cdot 27\) より \(n^7+7\) は素数ではない.
iii) \(n\ge 3\) のとき
 (1) \(n=3k\) (\(k\) は正の整数)のとき
   \(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) となり、
   \(9k^3+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n^3+3\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
 (2) \(n=3k+1\) (\(k\) は正の整数) のとき
   \(3k+1\equiv 1 \pmod 3\) だから \((3k+1)^5\equiv 1 \pmod 3\) で、
    \((3k+1)^5=3N+1\) ( \(N\) は正の整数)と表せるから
   \(n^5+5=(3k+1)^5+5=(3N+1)+5=3(N+2)\) ( \(N\) は正の整数) となり、
    これは \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
 (3) \(n=3k+2\) (\(k\) は正の整数) のとき
   \(n+1=3k+3=3(k+1)\) となり、
   \(k+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n+1\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
以上より、どのような正の整数 \(n\) に対しても \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) のいずれかが素数ではない、つまり、4個の整数 \(n+1\) ,\(n^3+3\) ,\(n^5+5\) ,\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない.(Q.E.D.)

進藤 努(数学科)
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2015年1月9日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS

本格的論述問題にチャレンジしてみよう【英語】

ダイレクトメールに掲載した「入試改革に向けて増加する 本格的論述問題にチャレンジしてみよう!」の問題解答です。

易しそうに見えるがミスしやすい和文英訳問題
 ~ 逐次的な訳よりも英語として自然な表現を心掛けて訳しましょう。

次の日本文を英訳しなさい。
1.いつ日本語が誕生したのかについて明確に述べることは困難である。
2.母国語の本を読んでも、私の知らない単語が出てくることがあります。

1.いつ日本が誕生したのかについて明確に述べることは困難である。
まず、日本語を英訳する際に、英文の構造的核となる部分を決める。上記の和文の場合は、「~することは困難である」になる。

「~することは困難である」
訳例
it is difficult to do
it is not an easy task to do
we have difficulty doing など

次にその他の部分の英訳を考える。

「いつ~かを明確に述べる」
訳例
tell exactly when ~
point out clearly when ~ など
(補足) この場合の「述べる」は、「表現する」ではないので、expressやdescribeは使わない方がよい。

「いつ日本語が誕生したか」
訳例
when the Japanese language came into use
when the Japanese language began to be used
when people began to use the Japanese language など
(補足) こういった場合の「誕生する」に、be bornを使うのは誤りではないが、frequencyは低いと思われる。

以上をまとめると解答例は、以下の通りとなる。

解答例1.
It is difficult to tell exactly when the Japanese language came into use.
解答例2.
It is not an easy task to point out clearly when people began to use the Japanese language.

2.母国語の本を読んでも、私の知らない単語が出てくることがあります。
構造的核となる主節部分は、「単語が出てくることがあります」にするのが一般的であろう。

「単語がでてくることがあります」
訳例
I sometimes come across words[a word]
I found words [a word] occasionallyなど
(補足) 「単語」を主語とし、「出てくる」を動詞とする英文は不自然な文になる可能性が高が、there are some wordsなどを使う方法もある。

「私の知らない単語」
訳例
words unfamiliar to me
unfamiliar words
words whose meanings I do not know など
(補足) unknown words 「人々に知られていない単語」といった意味になるので避ける。

次に「母国語の本を読んでも」の部分を主節にかかる副詞節として訳す。
「~の場合であっても、たとえ~しても」
訳例
even when ~
(even if ~, even though ~)

「母国語の本を読んでいる」
訳例
I am reading (the) books written in my native language
I read books written in my mother tongue

以上をまとめると解答例は、以下の通りとなる。

解答例1.
I sometimes come across words unfamiliar to me even when I am reading books written in my native language.
解答例2.
I occasionally find a word whose meaning I don’t know even while I am reading books written in my mother tongue.
解答例3.
There are some words unfamiliar to me even when I read books written in my native tongue.

片山 泰介(英語科)

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2015年1月9日 | カテゴリー : 入試情報 | 投稿者 : FORUM-7 OKS