ダイレクトメールに掲載した「本格的論述問題にチャレンジしてみよう！」の問題解答です。

一見 簡単そうに見える整数問題
　～ いざ解くとなると方針が思い浮かばない…

　\(n\) を2以上の整数とする。自然数（1以上の整数）の \(n\) 乗になる数を \(n\) 乗数とよぶことにする。
(1) 連続する2個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ。
(2) 連続する \(n\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ。

　東京大学2012年の入試問題です。前回のDMに引き続き今回も整数問題を取り上げます。他にもいろいろと取り上げたい分野もあるのですが、高1生もチャレンジできるようにということで、この分野から紹介してみます。

　一見「簡単そうかな」と思えるかもしれませんが、いざ解き始めようとすると手がつかない、方針が思い浮かばないという1題です（東大受験生にとってはそうではないことを願いますが）。仮に方針が立ったとしても、減点されない緻密な答案を作成するにはかなりな実力を要します。また、「 \(n\) 乗数」という聞きなれない言葉に戸惑う受験生もいるかもしれません。難関大では、思考力を試すために、新しい概念を定義してそれに沿った出題がなされることも少なくありません。その意味では、今回の「 \(n\) 乗数」は、まだ理解しやすいものと言えます。

　まず、「～でないことを示せ」とあるので、まぁこれはたぶん背理法でいくんだろうなと見当をつけます。つまり「～である」と仮定すると何かおかしなことになるよ、ということを示せばよいわけです。

　で、まず(1)。連続する2個の自然数の積 \(k(k+1)\) が \(n\) 乗数とすると…
例えば、仮に \(k(k+1)=15^2\) と書けたとすると \(k(k+1)=3^2\cdot 5^2\) となる。でも、ここで「ちょっと待てよ。連続する2個の自然数 \(k\) と \(k+1\) は互いに素（※１）だから…」ということに思い至るかどうかが、解けるかどうかのポイントです。
　 \(k\) と \(k+1\) が互いに素ということは、右辺の素因数3は \(k\) か \(k+1\) いずれか一方にしか含まれてはいけません。そうでないと「互いに素」でなくなってしまいます。右辺の素因数5についても同様ですから、結局 \(3^2\) 、 \(5^2\) のいずれも、 \(k\) または \(k+1\) の一方に入っていることになり、
　　 \((k,k+1)=(1,15^2) または (3^2,5^2)\)
となるため、 \(k\) と \(k+1\) はいずれも2乗数（平方数）ということになります。

　ところが、2乗数（平方数）は \(1,4,9,16,25,\ldots \) のように並んでいて、連続する2つの自然数がともに2乗数（平方数）になることはありません。これを一般化して答案を作ればよいことになります。

※１
難関大受験生にとっては常識でしょうが、「互いに素」というのは「1以外の公約数を持たないこと」です。「ともに素数」と勘違いする受験生もいますが、違います。もちろん、ともに素数の場合は当然互いに素になりますが、ともに素数でなくても例えば12と35も1以外の公約数を持たないので互いに素です。

(1)の解答例

連続する2個の自然数 \(k\)，\(k+1\) の積が \(n\) 乗数であると仮定すると，
　　\(k(k+1)=l^n\)　（ \(l\) は自然数）
と表わせて，
　　\(l={p_1}^{q_1}\cdot {p_2}^{q_2}\cdot \; \cdots \; \cdot {p_m}^{q_m}\)
と素因数分解できるとすると，
　　\(k(k+1)={p_1}^{q_1n} \cdot {p_2}^{q_2n} \cdot \; \cdots \; \cdot {p_m}^{q_mn}\)
ここで，\(k\) と \(k+1\) は互いに素であるから、右辺の素因数 \(p_1\) は \(k\) または \(k+1\) のいずれかにすべて含まれる．これは，\(p_2,\ldots ,p_m\) についても同様であるから，\({p_1}^{q_1n},{p_2}^{q_2n},\ldots ,{p_m}^{q_mn}\) はそれぞれ \(k\) または \(k+1\) いずれかの因数となる．
このことより，\(k\) と \(k+1\) はともに \(n\) 乗数となる．・・・(I)

一方、\(n\) 乗数の差は \(1^n\) と \(2^n\) のとき最小となり，
\(n\) 乗数の差の最小値は，\(2^n-1^n \ge 4-1=3\) であるから、連続する2個の自然数がともに \(n\) 乗数となることはなく、このことは上の結果(I)に矛盾する．

したがって，連続する2個の自然数の積が \(n\) 乗数となることはない．(Q.E.D.)

　この問題を解くカギは「連続する2個の自然数は互いに素である」ということです。これを利用するとうまくいきそうだと気づくことと、それを使ってスキのない答案を書けたかどうかが合否の分かれ目になったと考えられます。

　さて、ではこれをヒントに(2)の答案を作ってみよう！
　これで完璧！という答案ができた人は、ぜひOKSに持ってきてみてください。OKS講師が実力判定と、それに応じた今後の最適な学習法をアドバイスします！

ダイレクトメールに掲載した「本格的論述問題にチャレンジしてみよう！」の問題解答です。

日本語の字面に引きずられることなく、正しい内容把握と自然な英語表現を心掛けましょう。

問題　以下の文章を英訳せよ。

　米国の代表的スポーツ，たとえば野球やバスケットボール，アメリカンフットボールは，「適者生存」のダーウィニズムの影響が濃いのだそうだ。競技とは生存競争に他ならず，勝利するのは適者である。こういう考え方からメンバーチェンジの発想が生れた，とある研究者は指摘している。（東北大学）

解答例１

　　Some people say that popular sports in the US, such as baseball, basketball and football, reflect the idea of “the survival of the fittest,” one of the main ideas of Darwinism. The essence of games is the struggle for existence, and the fittest win them. Such ideas, a researcher points out, lead[led] to the idea of substitution of players.

解答例２

　　I hear it said that popular sports in the US – baseball, basketball and football, for example – are deeply influenced by Darwinism, especially the idea of “the survival of the fittest.” The game of those sports is about the struggle for survival, and the fittest players prevail. A researcher argues that the system of substitution of players is based on those ideas.

ポイント解説

「～だそうだ」
Some people say that ~, They say that ~, It is said that ~, I hear that ~, I hear it said that ~など。

「米国の代表的スポーツ」
(the) popular sports in the US
ここでの「代表的」は、「人気のある」程度の意味で、representやrepresentativeなどを用いるのは不可とまでは言えませんが、避けた方が無難でしょう。

「たとえば～」
この場合such as ~が一般的。~, for exampleなども可。

「適者生存のダーウィニズム」
the survival of the fittest of Darwinismではなく、”the survival of the fittest,” which is one of the main ideas of Darwinismなどの方がよいでしょう。Darwinism, especially the idea of “the survival of the fittest”という解釈もあります。

「～の影響が濃い」
文字通り英訳すると、be deeply influenced by ~, be strongly affected by ~など。この文章では、reflect ~とするのもよいでしょう。

「競技とは生存競争に他ならず」
the game is the struggle for existenceも可能でしょうが、「競技の本質は生存競争である」と解釈し、the essence of games is the struggle for existenceやbe about ~「その本質は～である」などの表現を用いる方がよいでしょう。

「適者」
the fittest (players)

「勝利する」
win (games), prevailなど。

「こういう考え方から～が生まれた」
Those ideas lead to[result in] ~でもよいでしょうし、~ is based on those ideasという書き方でもよいでしょう。~ comes from those ideas, ~ originates from those ideas「～はそういった考え方に由来する、～はそういった考え方から来ている」などを使うこともできます。

「メンバーチェンジ（という発想）」
member changeは和製英語なので不可。substitution (of players)などにしましょう。

「～とある研究者は指摘している」
文字通り、a researcher points out that ~でも構いませんし、a researcher argues that ~, a researcher says that ~等の表現もよいでしょう。解答例1は主節を挿入する形にしてあります。

OKSの英作文指導

　和文英訳・英作文は、模範解答を見るだけの学習法や、添削された答案を読むだけでは なかなか力がつきません。
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　早いもので、気がつくと今年もあと半分。梅雨が明ければいよいよ本格的な夏がやってきます。
　受験生にとっては合格を左右する重要な時期、高１・２年生にとっても今後の成績の伸びを左右する重要な時期です。
　高校の定期試験も終わり、そろそろ「夏期講習どうしようかなぁ」と考え始める時期でしょうか？

　塾・予備校の夏期講習の広告・宣伝もよく目にするようになり、もちろんOKSの夏期講習受付も始まっていますが、夏期講習に通うとしたら果たして どこがベストなんでしょうか？
　今回は、普段通う塾・予備校の選び方にも通じるところですが、どんな点に注意して選ぶべきかについて考えてみましょう。
　「千葉で一番の夏期講習の選び方」というタイトルですが、これは千葉以外でも同じことです。

１．ライブの授業があり、講師に直接質問できること

　これは絶対譲るべきではありません。DVDなど映像教材では質問・相談に満足に答えてもらえません。「映像世代」にはDVD教材などもよく見えるかもしれませんが、これで学力が伸びるのなら、何も高い授業料を支払わずとも参考書や問題集の学習で力をつけることができるはずです。授業でわからなかったことをすぐに聞けるかどうか、後で「先生、この部分なんですが」と質問できるかどうか、授業時の理解度を先生が覚えていてくれることなどは 実は決定的に重要です。常駐するスタッフいても、それが事務職員＋αや学生アルバイトのチューターなどでは、やはり頼りになりません。
　OKSの授業はもちろんすべて「ライブ」で、生徒との対話をしながら進みます。

２．実力・経験とも信頼できる講師が指導していること

　巷には大手予備校はじめ、学習塾、映像予備校、個別指導塾など数えきれない程の塾・予備校があり、夏期講習が開講されます。しかしながら、信頼できる実力と経験を持った講師が指導を担当しているところは残念ながら多くありません。映像授業ではない大手予備校には優秀な講師が在籍していますが、基本的に授業時のみ出講するため満足に質問などができません。学生アルバイト講師の個別指導塾などは「親しみやすさ」はあるかもしれませんが、大学受験対策という観点でみると論外です。多いのは、代表一人だけがしっかりした講師でも、他に雇っているのは学生アルバイトという塾で、こちらも言うまでもありません。
　OKSの講師陣は、大手予備校で長年教鞭をとった経験豊かな現職・出身講師ばかりです。1クラス5～15人程度の少人数クラスの小さな予備校でOKSほどの講師陣がいる予備校は千葉では他にありません。千葉だけでなく都内まで含めても、OKS同様の充実の指導システムを持った予備校は他に見たことがありません。

３．授業がない時にもしっかりした指導を受けられること

　授業時だけ講師が出講する大手予備校では実現できません。夏休みは自分で学習する時間が普段以上に確保できますが、その分 余計に疑問点が出てくることも多いでしょう。そのとき、すぐに質問できるかどうかは重要なポイントです。もちろん「わからなかったら、何でもすぐに聞けばいい」というわけではありませんし、その意味では「最近はやり」の「授業をしない塾」に魅力を感じることもあるかもしれませんが、教材を与えられてただ自分で考え抜きなさいと指示されたり 学生アルバイト講師の個別指導を受けるのでは実力はつきません。「いつでも質問できて」なおかつ それに対して ただ単にすぐに答・解き方を教えてしまうのではなく、その生徒の理解度に応じて じっくり考えるためのヒントを与えながら 自分で解かせるようにサポートする、そのような指導が受けられるのがベストです。
　OKSでは大手予備校出身の専任講師が常駐し、いつでも質問・相談に応じられるのはもちろん、受講していない科目の質問・相談も自由にできる上、英単語・熟語・数学演習チェックテストなど授業以外の課題学習も充実しています。

４．自習室が完備していて、授業のない日も使える

　上の３．の指導を受けるためにも、自分の学習を進める上でもこれは不可欠です。「ただ開いている」というだけでなく、みんなが熱心に勉強に取り組んでいる、サポート体制がしっかりしているという点も要確認です。
　OKSの自習室は毎日夜22時まで開いています。（詳しい自習室開室時間はOKS内掲示板や内部生専用ページに掲載しています）もちろん冷暖房完備、ともに切磋琢磨するライバルたちの真剣な姿も刺激になります。当然、常駐するプロ講師のサポートが受けられます。

　いかがでしたか？ 将来を左右する大切な大学受験。志望校合格のカギを握る予備校選び、失敗したくないですよね。ぜひ、みなさんが予備校を探される際の参考にしてください。お近くに 良い予備校が見つかるといいですね！ 千葉県内、千葉市・稲毛周辺でお探しの方は、ぜひOKSにお気軽にお問い合わせください。予備校界の真実、大学受験を知り尽くしたOKSのプロフェッショナル講師がどんな相談にも応じます！

　DVDなどの映像教材を視聴して学習する予備校のテレビCM・広告ポスター、よく目にしますよね。
部活動などでなかなか塾・予備校に通う時間が確保できないという生徒にとって「時間があるときに いつでも見て学習できる」というのは魅力的に見えますが、果たして本当にそうでしょうか？

　OKSにも「実は今まで○○（有名な映像予備校）に行ってたんだけど…」と相談に来られる方が後を絶ちません。相談の多くは、実際にやってみたら
「無料体験はいっぱいできたけど、結局1年間にかかった学費が予想以上に高額だった」
「費用がかかる割には成績が思うようにあがらなかった」
ということで、よく聞いてみると次の2点が大きな問題点のようです。

　まず1つめは、「いつでも見られる」と思ったが、実際にはなかなか見られなかったという声。でも、考えてみればそれは当然です。ただでさえ部活・習い事等で塾・予備校になかなか通えないという生徒さんが しっかり予定を立てて その計画通りに視聴を進めるというのは実は至難の業です。「今日は部活で疲れたから」「学校の試験が近いから」「今日は学校の課題がいっぱいあるから」「友達と約束をしちゃったから」などなど、安易に「また今度まとめてしっかり見ればいいや」となってしまう理由があふれています。結局、なかなか思ったように視聴できずに未消化の講座を残してしまったまま一年を終えてしまうことが多いようです。

　2つめは、「質問や相談が満足にできない」という声。それも当然です。教えている先生はそこにおらず、いるのはプロフェッショナルな講師ではなく事務職員＋α程度のスタッフか学生アルバイトのチューターなどです。到底 経験豊かで指導力のある予備校講師と同じレベルで質問に答えたり相談に応じたりすることは不可能です。「○○（有名な映像予備校）で質問したらこう教えられたんですけど よくわからなくて」と言う生徒の話を我々が聞いてみると、「いくら何でも、それはないだろう！」と驚くことも少なくありません。

　この程度の指導に対して、学生アルバイトの塾程度の学費しかかからないのであれば まだしも、学費だけは大手予備校並みかそれ以上です。考えてみてください。毎日流れるテレビCM、様々な場所での大きな広告やポスター、その膨大な宣伝・広告費はみなさんが支払う高額な授業料で賄われているのです。一度収録してしまえば新たな経費をかけることなく何年も無制限に使用できる教材、「儲かるビジネスモデル」としては優秀なのかもしれませんが、将来を左右する受験対策を委ねられますか？

　OKSは、上の問題点のいずれも解決しています。
「授業をいつでも見られる」わけではありませんが、事務職員や学生アルバイトではなく 大手予備校出身のプロフェッショナル講師が常駐して指導にあたっています。いつでも質問・相談に応じられる体制で、欠席してしまった授業のサポートなど、「いつでも見られる授業」以上の環境を実現しています。
また、少数精鋭の小さな予備校ならではできることですが、常駐講師や事務スタッフが生徒一人ひとりの顔と名前を知っていて、進路や到達度、出席状況を含めた学習状況などを把握し、一人ひとりへのサポートもばっちりです。
欠席するとすぐに「この前はどうした？」となるので、生徒も安易に欠席することもなく 自然と「何とか頑張って出席しよう」と思うようになります。
さらに、授業だけでなく様算な日常的な指導も充実しています。

　「OKSってどんな予備校なのかもう少し詳しく知りたいな」と思ったアナタ、無駄な学費をかけてしまう前に ぜひ気軽にお問い合わせください。

　現在、夏期講習の申込受付中です。受講相談や無料体験もできます。千葉県内、千葉市・稲毛周辺で「どっかいい予備校ないかなぁ」と探している方、ぜひOKSの門を叩いてみてください！
学習相談だけでも可能ですので、どうぞご遠慮なく！

　夏休みも近づき、各予備校・塾も夏期講習の募集を開始しています。夏休みは受験生・高２・１年生を問わず、成績を大きく伸ばすチャンスです。この時期の勉強をどうしようかと考えている方も多いと思いますが、大学入試についていろいろ知りたい、相談したいという方、どうぞ遠慮なくOKSにご相談ください。

　ところで、ここ数年「授業をしない塾」「教えない予備校」などがマスコミ等で取り上げられ話題になることがありますが、果たしてそれで真の実力がつくのでしょうか。中には自学自習だけで難関大学を突破する実力をつけられる生徒さんもいると思いますが、それは全受験生のほんの数パーセントだと思います。それに、そういう生徒さんであれば「授業をしない塾」にわざわざ授業料を払って学習計画を立ててもらう必要などあるのでしょうか。
　今回は、この「授業をしない塾・教えない予備校」と、それに対してOKSはどんな予備校かについて OKS代表の尾城講師に聞きました。

OKSも「授業をしない塾・教えない予備校」？

　近年、千葉県でも「授業をしない塾・教えない予備校」を看板にする予備校が増えてきました。ただ、内容はお粗末なものも多く、自習室＋学生チューターという個別指導塾の看板を掛け変えただけという予備校もあります。また、そもそも学習計画の立案・指導や学生アルバイト講師による個別指導などだけでハイランクの大学受験は可能でしょうか？

「総合力」としての学力

　東大、京大の入試問題が参考書で学習するだけで解けるようになるのでしょうか。それが可能ならだれでも東大、京大に合格できます。千葉県内の高校からの東大合格者数から判断する入試の現実をみれば、それが不可能なことは明らかでしょう。
　千葉県のトップランクの生徒が集うFORUM-7 OKSは『総合力』が看板です。大手予備校レベルの講師陣による詳細な解説授業＋自ら参考書を執筆する本格派講師陣による参考書紹介、学習指導＋無料のチェックテストと質問コーナーでの日常指導、この3本の柱が支えとなって確実なハイレベルの学力が築きあげられていきます。千葉県内トップランクの優秀な講師陣がこの学力構築の要です。

OKSはオリジナルテキストに加え、講師陣が紹介する参考書で学習を指導します

　予備校では多くの講座の受講を要求されると考えている方も多いと思います。千葉県の大部分の予備校では、これが真実です。ところが、OKSでは、自分で学習できる教科は自分自身の力で学習しなさいと指導します。自分でできない部分を受講すればよいだけです。自分自身で計画を立て、自学できない生徒がトップランクの大学に合格できるとは思えません。こうした生徒と 常駐する本格派講師陣が 車の両輪の如く進む 千葉県トップランクの予備校OKSのシステム。夏休みは自分自身の学習を確立するチャンスです！ ぜひこの夏にそのシステムを自分自身で体験してみましょう！

▽例えば、下記のようなフランチャイズの塾に 大切なお子さまを安心して預けられますか？
「授業は無意味」「授業をしないから原価率も低く簡単・高収益」「誰でもできます」こんな言葉につられて増殖している経営・運営者に、とても教育・大学受験に対する理念やノウハウがあるとは思えません。ましてや指導力のある信頼できる講師が在籍しているとは考えられません。（実際、塾講師募集広告を見てみると「大学生・フリーター歓迎」「未経験者歓迎」だそうです。）
・ある塾のフランチャイズ募集広告
　▲こちらのフランチャイズ募集広告には上記のような言葉が躍っていましたが、さすがに入塾生やその保護者の方の目に触れるとマズイと考えられたのか、現在では掲載されていないようです。。

　夏も近づいてきました。

　受験生は、基礎的な領域(単元ごとの文法事項、単語・熟語など)を遅くとも夏中には習得し、秋以降は実践演習(過去問など)へと学習の重心を移行しなければなりません。

　高1・2生は、受験生となる頃には選択科目の学習に十分な時間を割けるよう、今は主要教科の英語、理系志望や国立志望ならば数学・英語を早いうちにある程度まで仕上げてしまいましょう。特に国公立大志望の方は、受験生になるとやらねばならない選択科目が多くなりますので、今のうちに英数にある程度目途をつけておかないとその後の展開が苦しくなります。少なくとも大まかな計画は立てて、勉強するようにしてください。

　私たち講師陣は常に、皆さんにできる限りの助力をしたいと考えております。私たちと一緒に頑張りましょう。

～ 千葉県内で本当に実力のつく塾・予備校をお探しの方へ ～

　OKSの英語科の授業は、東大早慶レベルから基礎レベルまで様々なクラスがあり、実力と目的に応じて最適な講座を受講できます。もちろん どの講座も大手予備校で経験を積んだ本格派講師の講義を少人数で受けられます。

　また難関大突破に必要な英作文や読解の個別対面形式による添削指導や、英語力の基礎となる語彙力強化のための英単語・熟語チェックテストなど、様々なシステムでサポートし学力を伸ばします。難関大突破を目指す受験生、高１・２年生はもちろん、AOなど各種推薦入試対策をしたい生徒まで、幅広いニーズに応えます。

　千葉県内で塾・予備校をお探しの方、ぜひOKSの門をたたいてみてください。勉強法や進路についての相談のみも受け付けていますので、どうぞお気軽にお問い合わせください。

　OKS世界史講師 祝田秀全先生の著書「歴史が面白くなる東大のディープな世界史」が、「東大で売れた本ランキング」（東大生協本郷書籍部調べ）の人文部門で あの『「知の技法」入門（小林康夫 他）』を抜いて堂々の1位を獲得しました。また、東京大学公式の情報サイト「東大ナビ」でも取り上げられています。

〈リンク〉
・ジャンル別、本郷キャンパス書籍部売り上げランキング「東大で売れた本ランキング」（東京大学新聞 Online）
・「東大」を読む～東大本から見える東大のいま：「歴史が面白くなる 東大のディープな世界史」（東大ナビ）

　祝田先生をはじめ、FORUM-7 OKSの講師陣は大手予備校で長年教鞭をとった実力派ぞろいです。このような本格派講師がそろい、その講義を少人数で受けられ、常駐する講師に授業以外でもきめ細かな指導を受けられる予備校は、千葉県では他にはありません。ぜひ その理想的な学習環境をご自分の目で確かめてみてください。学習・進路相談、無料体験は随時受付中です。

・講師紹介
・無料体験
・お問い合わせ

　春休みには多くの塾・予備校で春期講習が行われますが、OKSでは「春期講習」として切り離して中途半端な形で講義を行なうことはせず、3月16日(月)から前期授業を開始します。

　年間のカリキュラムの一環とすることで、より体系的で効果のある授業を展開することができると考えているためです。これも「合格という結果を出す」ことを最優先するOKSならではのシステムです。これがOKSの春期講習です。

　3月16日(月)から始まるOKSの通常授業は、無料体験もできます。小さな予備校で、大手予備校で長年指導に携わる大学受験のプロフェッショナルの授業を少人数クラスで受けられる”現代の寺子屋”OKSの授業を、ぜひこの機会に体験し、その素晴らしさを自分自身で確かめてみてください。体験受講について、詳しくは無料体験授業のページをご覧ください。

　大手予備校現役・出身講師によるハイレベルかつ丁寧な指導で「合格力」を確実にアップするOKS。
　大学生講師が中心の塾、DVDや映像系予備校など他の塾や予備校では実現不可能な理想的な環境がOKSにはあります！
　ライバルに一歩リードし、に実力をアップするため、千葉で塾・予備校をお探しのみなさん、ぜひお気軽にお問い合わせください。

ダイレクトメールに掲載した「入試改革に向けて増加する 本格的論述問題にチャレンジしてみよう！」の問題解答です。

さて、どこから手を付ければいいのやら…
　～ 公式や定型的な解法の暗記では対応できません。知識や経験を活かしながら論理的思考が求められる１題です。

　4個の整数 \(n+1\) ，\(n^3+3\) ，\(n^5+5\) ，\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない．これを証明せよ．

大阪大学2013年の入試問題です。阪大は整数問題の出題がほぼ毎年あり、この問題のできが合否を分けることも少なくありません。難関大学ではよく出題される整数問題は、通り一遍の解法暗記では太刀打ちできず、数学的な思考が要求されます。

まず、この4個の整数がすべて素数となるような正の整数 \(n\) が存在しないことを証明するためには
「すべての正の整数 \(n\) について、 \(n+1\) ，\(n^3+3\) ，\(n^5+5\) ，\(n^7+7\) の少なくともひとつが素数でない」
ことを示せばよいんだなと考えよう。

次に「すべての正の整数について」の部分をどう考えるか？
１．数学的帰納法の利用
２．余りで分類
のいずれかで攻められそうだが、この問題の場合、数学的帰納法はどうもうまくいきそうにない。

ならば「余りで分類」でいくか…。
では、何で割ったときの余りでいけるか？
2で割った余りで解決すれば簡単だが、多分そんなに甘くないだろう。実際、
\(n=2k\) のとき
　\(n+1=2k+1\) ，\(n^3+3=8k^3+3\) ，\(n^5+5=32k^5+5\) ，\(n^7+7=128k^7+7\)
となって、\(n=2k+1\) のときを考えるまでもなく これらのいずれかが素数ではないというのは どうも簡単ではなさそう。

なので、3で割った余りでやってみようか。
(1) \(n=3k\) のとき、
　\(n+1=3k+1\) ？？？これは素数でないとは言えない。
　\(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) おっ、これは \(3\) の倍数だから素数ではないぞ！
(2) \(n=3k+1\) のとき、
　\(n+1=3k+2\) ？？？これは素数でないとは言えない。
　\(n^3+3\) は？　\(n \equiv 1 \pmod 3\) のとき \(n^3 \equiv 1\) だから、
　　\(n^3+3\equiv 4 \equiv 1\) となり、\(n^3+3=3A+1\) ？？？これは素数でないとは言えない。
　\(n^5+5\) は？　\(n^5\equiv 1\) だから、
　　\(n^5+5\equiv 6\equiv 0\) となり、\(n^5+5=3B\) おっ、\(3\) の倍数ってことだ！
(3) \(n=3k+2\) のとき、\(n=3k-1\) のときと考えた方が楽かな？ でも今回は、
　\(n+1=3k+3=3(k+1)\) ん？意外とあっさり。これは \(3\) の倍数。

というわけで、\(3\) で割った余りで解決しそう！
ただし、\(n\) が正の整数であることより、(1)では\(k>0\) だが、(2)(3)では \(k=0\) の場合も考える必要がある。このことを忘れると確実に減点！
(2)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=1\) のとき、\(n^5+5=6\) となるから素数でなく問題なし。
(3)で \(k=0\) の場合、つまり \(n=2\) のとき、\(n+1=3\) となり \(3\) は素数なので、これではダメ。
　ならば \(n=2\) の場合は…
　　\(n+1=3\) ，\(n^3+3=11\) ，\(n^5+5=37\) ，\(n^7+7=135\)
　となり \(n^7+7\) が素数でない。なるほど、上の(1)～(3)でいけるなら \(n^7+7\) がなくてもいいんじゃないの？って思ったけど、そういうことなのね。

な～んてことを、試験場でいろいろ考え、さてそれでは答案を書いてみるか、ということになる。
\(n=1\) のときは別に分けて考える必要はなく(2)に入れてもよいが、そうすると(2)の場合だけ \(k=0\) の場合を含めることになりすっきりしないので、\(n=1\) と \(n=2\) の場合は先に書いてしまった方がいいかな。

では、以下に解答例を示そう。

【解答例】（下の 「 \(\ge\) 」は記号「≧」の意味です。）

i) \(n=1\) のとき
　　\(n^3+3=4\) より \(n^3+3\) は素数ではない.
ii) \(n=2\)のとき
　　\(n^7+7=135=5\cdot 27\) より \(n^7+7\) は素数ではない.
iii) \(n\ge 3\) のとき
　(1) \(n=3k\) (\(k\) は正の整数)のとき
　　　\(n^3+3=27k^3+3=3(9k^3+1)\) となり、
　　　\(9k^3+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n^3+3\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
　(2) \(n=3k+1\) (\(k\) は正の整数) のとき
　　　\(3k+1\equiv 1 \pmod 3\) だから \((3k+1)^5\equiv 1 \pmod 3\) で、
　　　　\((3k+1)^5=3N+1\) ( \(N\) は正の整数)と表せるから
　　　\(n^5+5=(3k+1)^5+5=(3N+1)+5=3(N+2)\) ( \(N\) は正の整数) となり、
　　　　これは \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
　(3) \(n=3k+2\) (\(k\) は正の整数) のとき
　　　\(n+1=3k+3=3(k+1)\) となり、
　　　\(k+1\) は \(1\) より大きい整数だから \(n+1\) は \(3\) より大きい \(3\) の倍数で、素数ではない.
以上より、どのような正の整数 \(n\) に対しても \(n+1\) ，\(n^3+3\) ，\(n^5+5\) ，\(n^7+7\) のいずれかが素数ではない、つまり、4個の整数 \(n+1\) ，\(n^3+3\) ，\(n^5+5\) ，\(n^7+7\) がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない.（Q.E.D.）